附有完整代码，但不建议你直接copy

MATLAB安装移步

MATLAB安装教程

题目

编写MATLAB程序分别应用幂法和秦九韶算法求多项式的值，并比较分析两种算法的效率；

$$P_n(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n$$

分析

我们需要比较两种算法的效率，最简单的办法就是用两种算法计算同一个多项式，然后比较两者的时间差距，所以我们需要写两个函数，一个是幂法，一个是秦九韶，这两个函数用同样的输入，同时输出同样格式的结果比较就可以

两个函数我们实现的是输入多项式系数和x的值，通过计算和计时之后，返回结果和运算耗时。

耗时函数

$tic$是$MATLAB$中的计时函数，在$MATLAB$中，$tic$和$toc$函数一起使用，用来测量代码运行的时间。这对于性能分析，比如确定某个特定代码段的执行效率，是非常有用的。

$tic$函数：当你想开始计时时，调用$tic$。它会记录当前时间。

$toc$函数：在代码的结尾处调用$toc$，它会返回从最近一次调用$tic$以来经过的时间（以秒为单位）。

幂法

幂法其实就是最传统的求幂指数计算，在MATLAB中，^就是幂方，MATLAB中代码就可以这样写

$result$为计算结果,$time\_taken$为计算耗时，$coefficients$为主函数中传入的系数值，$x$就是多项式中的x

通过length获取多项式的n值，然后迭代循环，计算出幂值，相加

function [result, time_taken] = power_method(coefficients, x)
    tic;
    n = length(coefficients);
    result = 0;
    for i = 1:n
        result = result + coefficients(i) * x^(n-i);
    end
    time_taken = toc;
end

秦九韶算法

$$
P_n(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n
$$
将它改写成等价形式
$$
\begin{aligned}
P_n(x) & =\left(a_0 x^{n-1}+a_1 x^{n-2}+\cdots+a_{n-2} x+a_{n-1}\right) x+a_n \\
& =\left(\left(a_0 x^{n-2}+a_1 x^{n-3}+\cdots+a_{n-2}\right) x+a_{n-1}\right) x+a_n \\
& =\cdots=\left(\cdots\left(\left(a_0 x+a_1\right) x+a_2\right) x+\cdots+a_{n-1}\right) x+a_n,
\end{aligned}
$$

就可以得到递推公式
$$
\begin{aligned}
& v_0=a_0, \\
& v_k=x v_{k-1}+a_k, \quad k=1,2, \cdots, n .
\end{aligned}
$$

递推结果 $v_n=P_n(x)$.

我们就可以通过这个递推结果进行编写函数计算，和幂法同样的输入，不同的是我们需要把之前每一步的结果进行记录，然后带入下一次计算中

function [result, time_taken] = horner_method(coefficients, x)
    tic;
    n = length(coefficients);
    result = coefficients(1);
    for i = 2:n
        result = result * x + coefficients(i);
    end
    time_taken = toc;
end

主脚本

主脚本中我们只需要设置多项式系数值，和x的值，然后调用上面俩个函数即可

coefficients = [1, 48,468,468,684,648,4684,68,3, 2,]; % 多项式
x = 2; % value of x,

[result_power, time_power] = power_method(coefficients, x);
[result_horner, time_horner] = horner_method(coefficients, x);

disp(['幂法', num2str(result_power)]);
disp(['泰九韶: ', num2str(result_horner)]);

disp(['幂法时间: ', num2str(time_power), ' seconds']);
disp(['泰九韶时间: ', num2str(time_horner), ' seconds']);

代码

代码需要分三个文件来写，函数脚本注意命名

function [result, time_taken] = power_method(coefficients, x)
    tic;
    n = length(coefficients);
    result = 0;
    for i = 1:n
        result = result + coefficients(i) * x^(n-i);
    end
    time_taken = toc;
end

function [result, time_taken] = horner_method(coefficients, x)
    tic;
    n = length(coefficients);
    result = coefficients(1);
    for i = 2:n
        result = result * x + coefficients(i);
    end
    time_taken = toc;
end

coefficients = [1, 48,468,468,684,648,4684,68,3, 2,]; % 多项式
x = 2; % value of x,

[result_power, time_power] = power_method(coefficients, x);
[result_horner, time_horner] = horner_method(coefficients, x);

disp(['幂法', num2str(result_power)]);
disp(['泰九韶: ', num2str(result_horner)]);

disp(['幂法时间: ', num2str(time_power), ' seconds']);
disp(['泰九韶时间: ', num2str(time_horner), ' seconds']);