$§1$平面点集

$1$平面点集

平面点集：E=${\big(x,y\big)|\big(x,y\big)满足性质}$

例: $R^2={(x,y)|-\infty\leq x \leq+\infty}$

​ $圆形={(x,y)|x^2+y^2\leq1}$

​ $方形={(x,y)|-r<x<r,-r<y<r}$

两点距离：$点M_0(x_0,y_0),M_1(x_1,x_2)\in R^2\quad距离d(M_0,M_1)=|M_0-M_1| = \sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$

$2$邻域

设$M_0(x_0,y_0)\in R^2$

$\varepsilon-圆形邻域：U(M_0,\varepsilon)={(x,y)|\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}\leq\varepsilon}$

$\tau-方形邻域：V(M_0,\tau)={(x,y){\kern 4pt}|{\kern 4pt}|x-x_0|<\tau,|y-y_0|<\tau}$

$去心邻域：\mathring{U}(M_0,\varepsilon)={(x,y)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\varepsilon}$

​ $\mathring{V}(M_0,\varepsilon)={(x,y) \ | \ |x-x_0|<\varepsilon,|y-y_0|<\varepsilon,(x,y)\neq(x_0,y_0)}$

视情况使用

$3$点列的极限

设${X_n}^\infty_{n=1}为X轴上一数列$，${Y_n}^\infty_{n=1}为Y轴上一数列$

则$M_n(x_n,y_n)(n=1,2,3\cdots)构成R^2上一点列$

$记为{M_n}_{n=1}^\infty\quad{(x_0,y_0)}^\infty_{n=1}$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in \mathbb{N}\quad当n>N时\quad|x-x_n|<\varepsilon$

定义1：

设$M_0(x_0,y_0)\in R^2$为一定点，若$\forall\varepsilon>0\quad\exist N\in \mathbb{N}$,当$n>N$时均有$|M_n-M_0|<\varepsilon$,则将$M_0$为点列${M_0}^\infty_{n=1}$的极限记为$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}M_n=M_0$或$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0)$

命题1：

点列${M_n}_{n=1}^\infty(M_n(x_0,y_0))$收敛于$M_0(x_0,y_0)$收敛于$M_0(x_0,y_0)$的充要条件${x_n}$收敛于$x_0$,${y_n}$收敛于$y_0$

即$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0)\Longleftrightarrow\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0\quad,\quad\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=y_0$

证明：

$\Longrightarrow$必要性：

由$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0)$，即$\forall\varepsilon>0\quad\exist N\in\mathbb{N}$,当$n>N$时，有$\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}<\varepsilon\quad|x_n-x_0|\leq\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}<\varepsilon$,得到$|x_n-x_0|\leq\varepsilon$，得$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0$，同理可得$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=y_0$

$\Longleftarrow$充分性：

由已知得$\forall\varepsilon>0\,\exist N_1\in\mathbb{N},有|x_n-x_0|<\frac{1}{\sqrt{2}}\varepsilon$

​ $\exist N_2\in\mathbb{N},有|y_n-y_0|<\frac{1}{\sqrt{2}}\varepsilon$

取$N=max{N_1,N_2}$,则当$n>N$时，则$\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}<\sqrt{\frac{\epsilon^2}{2}+\frac{\epsilon^2}{2}}=\varepsilon$

则$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n,y_n)=(x_0,y_0)$

1.点列极限是唯一的

2.若点列${M_n}_{n=1}^\infty,{P_n}_{n=1}^\infty$均收敛，

$\alpha,\beta\in R\quad\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha M_n+\beta P_n=\alpha\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}M_n\pm\beta\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}P_n$

$4$点和平面点乘关系

设点$M_0(x_0,y_0)\in R^2$,点集$E\subset R^2$

$(1)$内点：

​ 若$\exist\delta>0$，使得$U(M_0,\delta)\subset E$，则称$M_0$为$E$的内点

$(2)$外点：

​ 若$\exist\delta>0$，使得$U(M_0,\delta)\cap E=\emptyset$，则称$M_0$为$E$的外点

$(3)$边界点：

​ 若$\forall\delta>0$，均有$U(M_0,\delta)\cap E\neq\emptyset$，则称$M_0$为$E$的边界点

​ $E$的所有边界点组成的集合称为边界，记为$∂E$

$(4)$聚点：

​ 若点$M_0$的任意邻域$U(M_0,\delta)$中均含有$E$中异于$M_0$的点

​ $ ①$等价描述:对$\forall\delta>0\,U(M_0,\delta)$中均含有$E$中无穷多个点

​ 证明:$\Longrightarrow$必要性：显然

​ $\Longleftarrow$充分性：反证法：若不然，则$\exist\delta>0$使得$U(M_0,\delta)$中仅含有$E$中有限个点，不妨设为$M_1,M_2,M_3\cdots M_k$，记$d$为$M_0$与所有点的距离的最小值，则斜线$U(M_0,\frac{d}{2})$不再有其他点属于$E$,矛盾

​ $②$聚点可以属于$E$，也可以不属于

​ $③$$E$所有的聚点构成$E$的导集，记为$E^{'}$，称$E\cup E^{'}$为$E$的闭包，记为，即$\overline{E}=E\cup E^{'}$

命题2

​ 设$M_0$为$E$的聚点，则存在$E$中一个点列$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}M_n=M_0$

​ 证明: 由$M_0$是聚点，则由定义知$\forall\delta>0\,U(M_0,\delta)$中有$E$中无穷多个点，

​ 取$\delta=1$，则$\exist M_1\in \mathring{U}(M_0,\delta)\cap E$

​ 取$\delta=min{\frac{1}{2},|M_0-M_1|}$，则$\exist M_2\in\mathring{U}(M_0,\delta)\cap E$

​ 取$\delta=min{\frac{1}{3},|M_0-M_2|}$，则$\exist M_3\in\mathring{U}(M_0,\delta)\cap E$

​ 依次下来，若$E$取出${M_{n-1}}$，则取$\delta=min{\frac{1}{n},|M_0-M_n|}$

​ 则$\exist M_0\in\mathring{U}(M_0,\delta)\cap E$

​ 由上可得一点列${M_n}_{n=1}^\infty$满足

​ $ ①M_n\in E\quad n=1,2,3\cdots$

​ $②|M_n-M_0|<\frac{1}{n}\quad n=1,2,3\cdots$

​ 从而$\forall\varepsilon>0\quad$取$N={\frac{1}{\delta}}+1$，则当$n>\mathbb{N}$时，有$|M_n-M_0|<\frac{1}{n}<\varepsilon$

​ 由定义可得$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}M_n=M_0$

$(5)$孤立点：

​ 若点$M_0\in E$但不是$E$的聚点（即$M_0\in E,\exist\delta>0$,使得$\mathring{U}\cap E=\empty$）

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例:$E={(p,q)|p,q\in\mathbb{Z}}$

​ 内点不存在，$E$的所有点都是边界点，$E^{'}=\emptyset\quad∂E=E$，$E$的所有点都是孤立点

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$5$一些重要点集

开集：

​ 若集合$E$中所有点都是内点，则称为开集

闭集：

​ 若集合$E$中的所有聚点都属于$E($即$)E^{'}\subset E$,此时有$\overline{E}=E$

连通集：

开区域：

​ 连通集，开集

闭区域：

​ 连通集，闭集（开区域+边界）

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思考题：

​ 证明任何$E\subset R^2$，$∂E$恒为闭集

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$6R^2$上的完备性定理

定理一：（柯西收敛准则）

数列：

​ ${X_n}$收敛$\Longleftrightarrow\forall\varepsilon>0\quad N\in\mathbb{N}$时，$\forall P\in\mathbb{N}$有$|x_n-x_n+p|<\varepsilon$

点列：

​ 点列${M_n}_{n=1}^\infty$收敛的充要条件是：$\forall\varepsilon>0\quad \exist N\in\mathbb{N\quad}$当$n>N$时，有$|M_n-M_{n+p}|<\varepsilon\quad(*)$

证明：

​ $\Longrightarrow$必要性：

​ ${M_n}_{n=1}^\infty$收敛，设$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}M_n=M_0$

​ 则$\forall\varepsilon>0\quad\exist N\in\mathbb{N}\quad$当$n>N$时，有$|M_n-M_0|<\frac{\varepsilon}{2}$

​ 又由于$n+p>N$，故$|M_{n+p}-M_0|< \frac {\varepsilon}{2}$

​ 故$|M_n-M_{n+p}|\leq|M_n-M_0|+|M_{n+p}-M_0|\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

​ $\Longleftarrow$充分性：

​ 由$M_0(x_0,y_0)由$$(*)$可知$|x_n-x_{n+p}|<\varepsilon\quad|y_n-y_{n+p}|<\varepsilon$

​ 故${x_n}$为一柯西数列，${y_n}$为一柯西数列，故收敛

定义一：

​ 设$E\in R^2$，定义直径为$diam(E)=\displaystyle \sup_{M,N\in E}{|M-N|}$

定理二：（闭集套定理）

​ 设${D_n}$为${R^2}$中一列非空闭集，满足

​ $(1)\,D_{n+1}\subset D_n\quad n=1,2,3\cdots$

​ $(2)\,\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}D_n=0$

​ 则存在唯一点，$M_0\in D_n\,n=1,2,3 \cdots$，即${M_0}=\displaystyle \mathring{\cap}_{n=1}D_n$

证明:

​ 任取一点列，$M_{n}\in D_{n}$

​ $n=1,2,\cdots$待证${M_n}_{n=1}^\infty$为柯西数列

​ 由条件$(2),\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}diam(D_n)=0$，即$\forall\varepsilon>0\quad\exist N\in \mathbb{N}$，当$n>N$时，有$diam(D_n)<\varepsilon$，对$P\in N$，有$n+p>N$

从而$M_{n+p}\in D_{n+p}\subset D_n$

​ 从而$|M_n-M_{n+p}|<diam(D_n)<\varepsilon$，从而收敛

对于$\forall n_0\in \mathbb{N},$当$n>N$时，有$M_n\in D_n\subset D_{n_0}$，注意$D_{n_0}$闭集，由$n_0$的任意性知$M_0\in D_n\quad n = 1,2,3\cdots$

唯一性:

​ 若还有一个点$M_0^{'}\in D_n\quad n=1,2,3\cdots$

​ 则$|M_0-M_0^{'}|\leq|M_0-M_n|+|M_0^{'}-M_n|$

​ $< diam{D_n}+diam(D_n)$

​ $<2diam(D_n)\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$

定义四（有界点集）

​ 设$E\subset R^2$，若$\exist r>0$，使得$E\subset U(0,r)$，则我们称$E$为有界集

定理三：(致密性定理)

​ $R^2$中任一有界无穷点列，必有一收敛子列

证明：

​ 设点列为${M_n}^\infty_{n=1}$，且$M_n(x_n,y_n),n=1,2,3\cdots$

​ 由于$M_n$有界，则数${X_n}$有界，从而有收敛子列${M_{n_k}}^{\infty}{k=1}$，保留点列${M_n}$中下标为$n_k,k=1,2\cdots$的项，去掉其他项得到子列${M{n_k}}^{\infty}{k=1}$，又由${M_n}$有界，知${y{n_1},y_{n_2},\cdots,y_{n_k},\cdots}$为有界

从而存在收敛子列，设为${y_{n_k}}^{\infty}$，同理可得，另一收敛子列,${M_{n_k}}_{i=1}^\infty$即为所找

定理三'(与定理三等价)

​ 任意的有界无穷点列均有聚点

证明：

​ 定理三'$\Longrightarrow$定理三(显然)

​ 定理三$\Longrightarrow$定理三‘：

​ 从点列中抽出一点列${M_n}^{\infty}{n=1}$使得$M_n\neq M_k$，当$n\neq k$时，则${M_n}$有界，由定理三可知，则必有一收敛子列，记为${M{n_k}}^\infty_{k=1}且$$\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}M_k=M_0$，则$M_0$为该点集的聚点

定义五：

​ 设$E\subset R^2$为一平面点集，$O={U_\alpha}_{\alpha\in I}$为一开集族，$($即集合中每一元素均为开集，$I$为指标集$)$，若对任意的点，$M\in E$，总存在$U_\alpha \subset O$使得$M \subset U_\alpha$，则称$O$为$E$的一开覆盖。若存在由若干有限个$U_\alpha$所组成的$O$的子集$O^{'}$使得$O^{'}$仍为$E$的开覆盖,则称$O^{'}$为$O$的对$E$的有限子覆盖

定理四：（有限覆盖定理）

$§$2多元函数的极限和连续性